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\handout{160690220:\hspace{0.08cm}实变函数}{2025 Fall}{Lecture 6: 测度的延拓 }{Professor:\hspace{0.08cm}\emph{邓桂丰}}{\emph{邓桂丰, AI, 唐嘉琪}}

\section{外测度}

设 \(X\) 是基本空间, \(\mathbf{R}\) 是 \(X\) 的环. 下面先引进一个包含 \(\mathbf{R}\) 的 \(\sigma\)-环: \( \mathbf{H}(\mathbf{R}) \) 表示 \(X\) 中能用 \(\mathbf{R}\) 中一列元素(即 \(X\) 中某些子集的序列)加以覆盖的子集全体所成的类,即
\[\mathbf{H}(\mathbf{R}) = \left\{ E \middle| E \subseteq X ,\,\text{存在}\, E_i \in \mathbf{R} (i=1,2,\dots )\text{\,使\,}E \subseteq \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i \right\}\]
{\color{red}\begin{rmk}
	要说明\( \mathbf{H}(\mathbf{R}) \)是一个$\sigma$-环, 只要注意到$\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}E_{i,n}$仍然是一个可列和操作就行. 详细见后文引理 \ref{lemma1} 的证明. 这里指出证明思路仅仅为了阅读流畅.
\end{rmk}}

\begin{example}\label{eg1}
	设 \(X\) 是任意的集,\(\mathbf{R}\) 表示 \(X\) 的有限子集(包括空集 \(\varnothing\))全体所成的环,那么 \( \mathbf{H}(\mathbf{R}) \) 就是 \(X\) 的有限或可列子集(包括空集 \(\varnothing\))全体所成的集类.
\end{example}

\begin{example}\label{eg2}
	对于 Lecture 5 section 2 的环 \( \mathbf{R}_0, \mathbf{H}(\mathbf{R}_0) \) 就是直线的所有子集全体. 
\end{example}

\begin{lemma}\label{lemma1}
	对任何环 \( \mathbf{R} \), 必定 \( \mathbf{R} \subseteq \mathbf{H}(\mathbf{R}) \); 当 \( E \in \mathbf{H}(\mathbf{R}) \) 时, \(E\) 的任何子集 \(F\) 必定也属于 \( \mathbf{H}(\mathbf{R}) \); \( \mathbf{H}(\mathbf{R}) \) 必定是 \(\sigma\)-环.
\end{lemma}

\begin{proof}
	引理的结论中, 前面两条是显然的. 而要证明 \( \mathbf{H}(\mathbf{R}) \) 是 \(\sigma\)-环, 显然只要证明 \( \mathbf{H}(\mathbf{R}) \) 对可列和运算的封闭性. 
设 \( E_i \in \mathbf{H}(\mathbf{R})(i=1,2,3,\dots ) \), 那么对每个 \( E_i \), 有一列 \( E_i^{(j)} (j=1,2,\dots ) \) 使得
\[E_i^{(j)} \in \mathbf{R}, \quad E_i \subseteq \bigcup\limits_{j=1}^{\infty} E_i^{(j)}\]
这时显然 
\[\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i \subseteq \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} \bigcup\limits_{j=1}^{\infty} E_i^{(j)}, \] 
其中 \( E_i^{(j)} (i,j=1,2,\dots )\) 是 \(\mathbf{R}\) 中的一列元素. 因此 \(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i \in \mathbf{H}(\mathbf{R})\).
\end{proof}

\begin{definition}
	如果 \(\mu\) 是环 \(\mathbf{R}\) 上的测度, 在 \( \mathbf{H}(\mathbf{R}) \) 上作集函数 \(\mu^*\): 当 \( E \in \mathbf{H}(\mathbf{R}) \) 时
\[\mu^*(E) = \inf \left\{ \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu(E_i) \middle| E_i \in \mathbf{R} \text{ 且 } E \subseteq \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i \right\}\]
\(\mu^*\) 称为由测度 \(\mu\) 所引出的\textbf{外测度}.
\end{definition}

首先注意, \(\mathbf{H}(\mathbf{R})(\supseteq \mathbf{R})\) 上集函数 \(\mu^*\) 限制到 \(\mathbf{R}\) 上就是 \(\mu\), 即
\begin{align}
	\mu^*|_{\mathbf{R}} = \mu \quad (\text{即 } \mu^*(E) = \mu(E), E \in \mathbf{R}). \label{2.3.1}
\end{align}

事实上, 如果 \(E \in \mathbf{R}\), 由测度的次可列可加性(见 Lecture 5 定理 6 的 4.), 对任何一列 \(E_i \in \mathbf{R}, E \subseteq \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i\), 都有 \(\mu(E) \leqslant \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu(E_i)\), 从而 \(\mu(E) \leqslant \mu^*(E)\). 另一方面, 特别取 \(E_1 = E, E_2 = E_3 = \cdots = \varnothing\) 作为 \(E\) 的覆盖, 又由可列可加性 \(\mu(E) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu(E_i) \geqslant \mu^*(E)\), 所以 \(\mu(E) = \mu^*(E)\). 

其次注意, 即使 \(\mu\) 对于 \(\mathbf{R}\) 中每个集 \(E, \mu(E)\) 是有限值, \(\mu^*\) 作为 \(\mathbf{H}(\mathbf{R})\) 上集函数, 也可能出现 \(E \in \mathbf{H}(\mathbf{R})\), 而 \(\mu^*(E) = \infty\). 这种例子甚多. 

下面先列出 \(\mu^*\) 的几个明显的简单性质. 

\begin{lemma}\label{lemma2}
	由环 \(\mathbf{R}\) 上的测度 \(\mu\) 所引出的外测度 \(\mu^*\) 有下列性质: 
\begin{enumerate}
    \item\label{lem2.1} \(\mu^*(\varnothing) = 0\);
    \item\label{lem2.2} (非负性) 对任何 \(E \in \mathbf{H}(\mathbf{R}), \mu^*(E) \geqslant 0\);
    \item\label{lem2.3} (单调性) 如果 \(E_1, E_2 \in \mathbf{H}(\mathbf{R})\), 且 \(E_1 \subseteq E_2\), 那么 \(\mu^*(E_1) \leqslant \mu^*(E_2)\);
    \item\label{lem2.4} 对于 \(E \in \mathbf{R}, \mu^*(E) = \mu(E)\). 
\end{enumerate}
\end{lemma}

由引理 \ref{lemma2} 的 \ref{lem2.4} 知道 \(\mathbf{H}(\mathbf{R})\) 上集函数 \(\mu^*\) 是 \(\mathbf{R}\) 上集函数 \(\mu\) 的延拓. 但是不是作为测度 \(\mu\) 的延拓呢？即 \(\mu^*\) 是不是 \(\mathbf{H}(\mathbf{R})\) 上测度呢？只是在明显的少数特殊情况下, \(\mu^*\) 才是 \(\mathbf{H}(\mathbf{R})\) 上的测度 (例子可参见习题1 ) , 一般说来, \(\mu^*\) 不是 \(\mathbf{H}(\mathbf{R})\) 上的测度. 下面便是一例. 

\begin{example}\label{eg3}
	设 \(X = (0, 1]\), \(\mathbf{R} = \{\varnothing, (0, 1]\}\), 而 \(\mathbf{R}\) 上 \(\mu\) 是 \(\mu(\varnothing) = 0\), \(\mu((0, 1]) = 1\). 这时 \(\mathbf{H}(\mathbf{R})\) 是 \((0, 1]\) 中所有子集全体. 显然, 按定义, 对任何非空集 \(E \in \mathbf{H}(\mathbf{R})\), \(\mu^*(E) = 1\), 这样, \(\mu^*\left((0, \frac{1}{2}]\right) + \mu^*\left((\frac{1}{2}, 1]\right) = 2 \neq \mu^*\left((0, \frac{1}{2}]\cup (\frac{1}{2}, 1]\right) = 1\), 即 \(\mu^*\) 在 \(\mathbf{H}(\mathbf{R})\) 上不满足有限可加性, 自然 \(\mu^*\) 不可能是测度. 
\end{example}

但 \(\mu^*\) 在 \(\mathbf{H}(\mathbf{R})\) 上仍具有次可列可加性. 

\begin{theorem}\label{thm2.3.1}
	设 \(\mu^*\) 是由环 \(\mathbf{R}\) 上测度 \(\mu\) 所引出的外测度, 那么对于任何一列 \(E_i \in \mathbf{H}(\mathbf{R})\). 成立不等式
	\begin{align}
		\mu^*\left(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i\right) \leqslant \sum\limits_{i=1}^{\infty}\mu^*(E_i). \label{2.3.2}
	\end{align}\end{theorem}

\begin{proof}
	首先由引理 \ref{lemma1}, \(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i \in \mathbf{H}(\mathbf{R})\), 因此 \(\mu^*\left(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i\right)\) 是有意义的. 如果有某个 \(i\), \(\mu^*(E_i) = \infty\), 那么 \eqref{2.3.2} 无疑成立. 因此, 不妨设所有 \(\mu^*(E_i) < \infty\). 对任何 \(\varepsilon > 0\), 对于 \(E_i\), 由 \(\mu^*\) 的定义, 可取一列 \(E_i^{(j)} (j = 1, 2, \dots)\), 它们都属于 \(\mathbf{R}\), \(E_i \subseteq \bigcup\limits_{j=1}^{\infty} E_i^{(j)}\), 且使
\[\sum\limits_{j=1}^{\infty}\mu(E_i^{(j)}) \leqslant \mu^*(E_i) + \frac{\varepsilon}{2^i}\]
因而 \(\sum\limits_{i=1}^{\infty}\sum\limits_{j=1}^{\infty}\mu(E_i^{(j)}) \leqslant \sum\limits_{i=1}^{\infty}\mu^*(E_i) + \varepsilon\). 但是 \(\bigcup\limits_{i,j=1}^{\infty} E_i^{(j)} \supseteq \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i\), 所以得到
\[\mu^*\left(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i\right) \leqslant \sum\limits_{i,j=1}^{\infty}\mu(E_i^{(j)}) \leqslant \sum\limits_{i=1}^{\infty}\mu^*(E_i) + \varepsilon\]
令 \(\varepsilon \to 0\) 就得到 \eqref{2.3.2} 式.
\end{proof}

次可列可加性当然蕴涵着次有限可加性, 但次可列可加性离可列可加性相差甚远. 我们的目标就是希望在 \(\mathbf{H}(\mathbf{R})\) 上能找出一个类 \(\mathbf{R}^*\), 它是 \(\sigma\)-环, 且包含 \(\mathbf{R}\), 而 \(\mu^*\) 在 \(\mathbf{R}^*\) 上是测度. 为此, 我们先看 \(\mu^*\) 究竟在 \(\mathbf{H}(\mathbf{R})\) 的哪些子集上具有有限可加性. 

\begin{theorem}\label{thm2.3.2}
	设 \(\mu^*\) 是由环 \(\mathbf{R}\) 上测度 \(\mu\) 在 \(\mathbf{H}(\mathbf{R})\) 上引出的外测度, 如果 \(E \in \mathbf{R}\), 那么对任何 \(F \in \mathbf{H}(\mathbf{R})\),
	\begin{align}
		\mu^*(F) = \mu^*(F \cap E) + \mu^*(F - E) \label{2.3.3}
	\end{align}\end{theorem}

\begin{proof}
	由于 \(F = (F \cap E) \cup (F - E)\), 由 \eqref{2.3.2} 式可知
	\begin{align}
		\mu^*(F) \leqslant \mu^*(F \cap E) + \mu^*(F - E) \label{2.3.4}
	\end{align}
因此只要证明相反的不等式也成立. 对于 \(\mu^*(F) = \infty\), 显然, 由 \eqref{2.3.4} 立即可得 \eqref{2.3.3}. 所以下面不妨设 \(\mu^*(F) < \infty\). 

由 \(\mu^*(F)\) 的定义, 对任何 \(\varepsilon > 0\), 有一列 \(E_i \in \mathbf{R} (i = 1, 2, \dots)\), 使得
\( F \subseteq \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i \), 而且 \[\mu^*(F) + \varepsilon > \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu(E_i).\] 令 \(E_i^{\prime} = E \cap E_i\), \(E_i^{\prime\prime} = E_i - E\), 显然 \(E_i^{\prime}, E_i^{\prime\prime} \in \mathbf{R}\), 并且 \[\mu(E_i) = \mu(E_i^{\prime}) + \mu(E_i^{\prime\prime}) \quad (i = 1, 2, \dots),\] 从而
\[ \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i^{\prime} = \left( \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i \right) \cap E \supseteq F \cap E, \quad \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i^{\prime\prime} = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i - E \supseteq F - E \]
而且
\[ \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu(E_i) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu(E_i^{\prime}) + \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu(E_i^{\prime\prime}) \geqslant \mu^*(F \cap E) + \mu^*(F - E) \]
因此 \[\mu^*(F) + \varepsilon > \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu(E_i) \geqslant \mu^*(F \cap E) + \mu^*(F - E).\] 
再令 \(\varepsilon \to 0\), 结合 \eqref{2.3.4}, 就得到 \eqref{2.3.3}.
\end{proof}

\eqref{2.3.4} 式表明 \(\mathbf{R}\) 中的任何集 \(E\), 能够分割测量 \(\mathbf{H}(\mathbf{R})\) 中集的外测度, 即如果 \(\mathbf{H}(\mathbf{R})\) 中两个集, 一个是 \(E\) 的子集 (例如 \(F \cap E\) ) , 另一个是 \(X - E = E^{\mathsf c}\) 的子集 (例如 \(F - E\) ) 时, 那么它们的和集 (例如 \(F\) ) 的外测度就等于这两个集的外测度之和. 

显然, 上述分割测量外测度的性质可以推广如下, 当 \(X\) 分解成有限个互不相交的 n 个集 \(E_1, \dots, E_n\) 的和时, 而且 \(E_1, \dots, E_n\) 中至少有 \(n-1\) 个属于 \(\mathbf{R}\), 那么下式成立
\begin{align}
	\mu^*(F) = \sum\limits_{i=1}^n \mu^*(F \cap E_i), \quad F \in \mathbf{H}(\mathbf{R}) \label{2.3.3'}
\end{align}
利用定理 \ref{thm2.3.2} 找出 \(\mathbf{R}^*\). 

{\color{red}\begin{rmk}
	这里要求至少$n-1$个属于\(\mathbf{R}\), 不妨设为前$n-1$个, 那么由于基本空间的划分$X=\coprod E_i$, 有$F-\biguplus\limits_{i\neq n} E_i=F\cap E_n$.
\end{rmk}

\begin{rmk}
	这里要寻找的$\mathbf R^*$指某个$\sigma$-环$\mathbf R^*\supseteq \mathbf S(\mathbf R)$, 使得环$\mathbf R$上的测度$\mu$可以延拓到其上, 并能成为$\mathbf R^*$上的测度的$\sigma$-环.
\end{rmk}}

\section{\(\mu^*\)-可测集}

为了找出 \(\mathbf{R}^*\), 先做点分析: 设想由 \(\mu\) 引出的 \(\mu^*\) 用某种方法已从 \(\mathbf{H}(\mathbf{R})\) 中找到一个子 \(\sigma\)-环 \(\mathbf{R}^* \supseteq \mathbf{R}\), 并且 \(\mu^*\) 在 \(\mathbf{R}^*\) 是可列可加的, 即由 \(\mathbf{R}\) 上的测度 \(\mu\) 扩张成 \(\mathbf{R}^*\) 上测度 \(\mu^*\). 但 \(\sigma\)-环 \(\mathbf{R}^*\) 也是环, 又可用 \(\mathbf{R}^*\) 代替 \(\mathbf{R}\), \(\mathbf{R}^*\) 上的 \(\mu^*\) 代替 \(\mathbf{R}\) 上的 \(\mu\), 重复上述某种扩张过程, 即先作出类 \(\mathbf{H}(\mathbf{R}^*)\) 以及 \(\mathbf{H}(\mathbf{R}^*)\) 上的外测度 \((\mu^*)^*\) (记为 \(\mu^{**}\)), 然后又可找出更大的 \(\mathbf{R}^{**} \supseteq \mathbf{R}^* \supseteq \mathbf{R}\). 这样, 似可一直扩张下去. 其实不然, 上述扩张过程只能做一次就不能再扩张了. 即下面事实成立. 

\begin{lemma}\label{lemma3}
	\(\mathbf{R}^*\) 是 \(\mathbf{H}(\mathbf{R})\) 的一个子环, 如果 \(\mathbf{R}^* \supseteq \mathbf{R}\), 那么 \(\mathbf{H}(\mathbf{R}^*) = \mathbf{H}(\mathbf{R})\), 并且 \(\mu^* = \mu^{**}\).
\end{lemma}

\begin{proof}
	因为 \(\mathbf{H}(\mathbf{E})\) 是一切能用 \(\mathbf{E}\) 中可列个元素覆盖的 \((X)\) 的子集全体, 自然, 从 \(\mathbf{R}^* \supseteq \mathbf{R}\) 可推出 \(\mathbf{H}(\mathbf{R}^*) \supseteq \mathbf{H}(\mathbf{R})\). 

反之, 对任何 \(E \in \mathbf{H}(\mathbf{R}^*)\), 必有 \(\mathbf{R}^*\) 中序列 \(\{E_i^*\}\), 使得 \(E \subseteq \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i^*\). 但对每个 \(E_i^* \in \mathbf{R}^* ( \subseteq \mathbf{H}(\mathbf{R}))\) 又必有 \(\mathbf{R}\) 中序列 \(\{E_j^{(i)}\}\), 使得
\(E_i^* \subseteq \bigcup\limits_{j=1}^{\infty} E_j^{(i)} \).
所以 \(E \subseteq \bigcup\limits_{i,j} E_j^{(i)}\), 从而 \(\mathbf{H}(\mathbf{R}^*) \subseteq \mathbf{H}(\mathbf{R})\). 因此 \(\mathbf{H}(\mathbf{R}^*) = \mathbf{H}(\mathbf{R})\).

再证 \(\mu^* = \mu^{**}\) 因为 \(\mathbf{R}^* \supseteq \mathbf{R}\), 而且在 \(\mathbf{R}\) 上, \(\mu = \mu^*\). 所以对任何 \(E \in \mathbf{H}(\mathbf{R}) = \mathbf{H}(\mathbf{R}^*)\),

\begin{align*}
	\mu^*(E) &= \inf \left\{ \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu(E_i) \middle| E_i \in \mathbf{R}, \text{ 且\, } E \subseteq \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i \right\}= \inf \left\{ \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu^*(E_i) \middle| E_i \in \mathbf{R}, \text{ 且\, } E \subseteq \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i \right\}\\
	&\geqslant \inf \left\{ \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu^*(E_i^*) \middle| E_i^* \in \mathbf{R}^*, \text{ 且\, } E \subseteq \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i^* \right\}= \mu^{**}(E)
\end{align*}

当 \(\mu^{**}(E) = \infty\) 时, 从上述已经有 \(\mu^*(E) = \mu^{**}(E)\). 所以不妨设 \(\mu^{**}(E) < \infty\) 情况下证明 \(\mu^*(E) \leqslant \mu^{**}(E)\). 事实上, 对任何 \(\varepsilon > 0\),

必有 \(\mathbf{R}^*\) 中 \(\{E_i^*\}\) 使得 \(E \subseteq \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i^*\), 并且

\[\sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu^*(E_i^*) < \mu^{**}(E) + \varepsilon\]

由此可知 \(\mu^*(E_i^*) < \infty\), 因而对任何 \({\varepsilon}/{2^i}\), 存在 \(\{E_j^{(i)}\} \subseteq \mathbf{R}\), 使得 \[E_i^* \subseteq \bigcup\limits_{j=1}^{\infty} E_j^{(i)},\text{ 且\, }\sum\limits_{j=1}^{\infty} \mu(E_j^{(i)}) < \mu^*(E_i^*) + \frac{\varepsilon}{2^i},\]
这样, 就有 \(E \subseteq \bigcup\limits_{i,j} E_j^{(i)}\), 而且

\[\mu^*(E) \leqslant \sum\limits_{i,j} \mu(E_j^{(i)}) < \sum\limits_{i} \mu^*(E_i^*) + \varepsilon < \mu^{**}(E) + 2\varepsilon\]

令 \(\varepsilon \to 0\), 便得到 \(\mu^*(E) \leqslant \mu^{**}(E)\).
\end{proof} 

引理 \ref{lemma3} 说明了用外测度找 \(\mu\) 的扩张只须一次就不能再扩大了. 如果再结合定理 \ref{thm2.3.2}, 它就提供了我们找 \(\mathbf{R}^*\) 的唯一途径, 因为假如 \(\mu^*\) 在 \(\mathbf{R}^* \supseteq \mathbf{R}\) 上是测度, 那么按定理 \ref{thm2.3.2}, \(\mathbf{R}^*\) 中任一个集都能分割测量 \(\mathbf{H}(\mathbf{R}^*)\) (即 \(\mathbf{H}(\mathbf{R})\)) 中每个集的外测度 \(\mu^{**}\) (但是 \(\mu^{**} = \mu^*\)), 即对 \(E \in \mathbf{R}^*\) 及 \(F \in \mathbf{H}(\mathbf{R})\), 应成立着
\begin{align}
	\mu^*(F) = \mu^*(F \cap E) + \mu^*(F - E) \label{2.3.5}
\end{align}

由此我们引入下面的定义. 

\begin{definition}
	设 \(\mu\) 是环 \(\mathbf{R}\) 上的测度, \(\mu^*\) 是由测度 \(\mu\) 所引出的外测度, \(E \in \mathbf{H}(\mathbf{R})\), 如果对任何 \(F \in \mathbf{H}(\mathbf{R})\) 都成立 \(\mu^*(F) = \mu^*(F \cap E) + \mu^*(F - E)\), 就称 \(E\) 是 \(\mu^*\)-可测集. \(\mu^*\)-可测集全体记为 \(\mathbf{R}^*\).
\end{definition}

等式 \eqref{2.3.5} 称为集 \(E\) 的\textbf{ Caratheodory (卡拉泰星独利) 条件}. 

显然 \(\mathbf{R} \subseteq \mathbf{R}^*\), 并且当 \(X\) 分解成有限个互不相交的集 \(E_1, \dots, E_n\) 的和时, 而且 \(E_1, \dots, E_n\) 中至少有 \(n-1\) 个属于 \(\mathbf{R}^*\), 类似于 \eqref{2.3.3'} , 有
\begin{align}
	\mu^*(F) = \sum\limits_{i=1}^n \mu^*(F \cap E_i), \quad F \in \mathbf{H}(\mathbf{R}) \label{2.3.6}
\end{align}

\begin{lemma}\label{lemma4}
	\(\mu^*\)-可测集全体 \(\mathbf{R}^*\) 是一个环.
\end{lemma}

\begin{proof}
	用 \(\mathbf{R}^*\) 中集分割测量 \(\mathbf{H}(\mathbf{R})\) 中集的外测度这个基本属性证明 \(\mathbf{R}^*\) 是一个环. 设 \(E_1, E_2 \in \mathbf{R}^*\), 即
	\begin{align}
		\mu^*(F) = \mu^*(F \cap E_1) + \mu^*(F - E_1) \quad F \in \mathbf{H}(\mathbf{R}) \label{2.3.7}\\
		\mu^*(F) = \mu^*(F \cap E_2) + \mu^*(F - E_2) \quad F \in \mathbf{H}(\mathbf{R}) \label{2.3.8}
	\end{align}
	\begin{enumerate}
		\item 证明 \(\mathbf{R}^*\) 对和运算封闭 用 \(E_2\) 来分割 \(F - E_1\), 有
\[\mu^*(F - E_1) = \mu^*((F - E_1) \cap E_2) + \mu^*(F - (E_1 \cup E_2))\]
利用 \eqref{2.3.7} 以及 \(E_1\) 的分割测量的属性就得到
\begin{align*}
	\mu^*(F) &= \mu^*(F \cap E_1) + \mu^*((F - E_1) \cap E_2) + \mu^*(F - (E_1 \cup E_2))\\
	&= \mu^*((F \cap E_1) \cup ((F - E_1) \cap E_2)) + \mu^*(F - (E_1 \cup E_2))\\
	&= \mu^*(F \cap (E_1 \cup E_2)) + \mu^*(F - (E_1 \cup E_2))
\end{align*}

上式对任何 \(F \in \mathbf{H}(\mathbf{R})\) 成立, 即 \(E_1 \cup E_2 \in \mathbf{R}^*\). 
		\item 同样可证 \(\mathbf{R}^*\) 对差运算封闭. 用 \(E_2\) 分割 \eqref{2.3.7} 中的 \(F \cap E_1\), 有
		\begin{align*}
			\mu^*(F \cap E_1) &= \mu^*(F \cap E_1 \cap E_2) + \mu^*((F \cap E_1) - E_2)\\
			&= \mu^*(F \cap E_1 \cap E_2) + \mu^*(F \cap (E_1 - E_2))
		\end{align*}
利用 \eqref{2.3.7} 以及 \(E_1\) 的分割测量的属性就得到
\begin{align*}
	\mu^*(F) &= \mu^*(F \cap E_1 \cap E_2) + \mu^*(F \cap (E_1 - E_2)) + \mu^*(F - E_1)\\
	&= \mu^*(F \cap (E_1 - E_2)) + \mu^*(F \cap (E_1 \cap E_2)) + \mu^*(F - E_1)
\end{align*}

注意 \(F - (E_1 - E_2) = (F \cap E_1 \cap E_2) \cup (F - E_1)\), 并且 \(F \cap E_1 \cap E_2\) 与 \(F - E_1\) 不相交, 由 \(\mu^*\) 的有限可加性 (在可测集上成立, 但这里我们尚未证明, 实际上这里我们是在证明环的结构, 所以需要另一种方式 ) \dots 实际上, 我们应直接验证 Caratheodory 条件. 详细证明略, 但可知 \(E_1 - E_2 \in \mathbf{R}^*\).
	\end{enumerate}
因此 \(\mathbf{R}^*\) 是环.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{thm2.3.3}
	\(\mu^*\)-可测集全体 \(\mathbf{R}^*\) 是一个 \(\sigma\)-环, 而且 \(\mu^*\) 限制在 \(\mathbf{R}^*\) 上是测度. 
\end{theorem}

\begin{proof}
	先证 \(\mathbf{R}^*\) 是 \(\sigma\)-环. 设 \(\{E_i\}\) 是 \(\mathbf{R}^*\) 中一列集, 令 \(E = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i\). 要证 \(E \in \mathbf{R}^*\). 不妨设 \(\{E_i\}\) 是两两不交的 (否则可用 \(F_1 = E_1, F_n = E_n - \bigcup\limits_{i=1}^{n-1} E_i\) 代替 ), 那么就是要证
	\begin{align}
		\mu^*(F)=\mu^*(F\cap E)+\mu^*(F-E),\quad F\in \mathbf H(\mathbf R). \label{2.3.9}
	\end{align}
	又因为$\mu^*$具有次可加性, 所以只要证
	\begin{align}
		\mu^*(F)\geqslant \mu^*(F\cap E)+\mu^*(F-E),\quad F\in \mathbf H(\mathbf R). \label{2.3.10}
	\end{align}
	
	因为$E_1\cap E_2=\varnothing, E_1,E_2\in\mathbf R^*$, 利用$E_1$分割测量$F\cap(E_1\cup E_2)$得到
	\begin{align*}
		\mu^*(F\cap(E_1\cup E_2))=\mu^*(F\cap E_1)+\mu^*(F\cap E_2),
	\end{align*}
	利用归纳法立刻得对任意的自然数$n$,
	\begin{align*}
		\mu^* \left( F \cap \left( \bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i \right) \right)=\sum\limits_{i=1}^{n} \mu^*(F \cap E_i).
	\end{align*}
	由于\(\bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i \in \mathbf{R}^*\), 以及$\mu^*$的单调性, 就得到
	\begin{equation}\label{2.3.11}
		\begin{split}
			\mu^*(F) &= \mu^* \left( F \cap \left( \bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i \right) \right) + \mu^* \left( F - \left( \bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i \right) \right)\\
			&\geqslant \sum\limits_{i=1}^{n} \mu^*(F \cap E_i) + \mu^* \left( F - \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i \right) 
		\end{split}
	\end{equation}
	令$n\to\infty$, 并利用$\mu^*$的次可列可加性, 由 \eqref{2.3.11} 得到
	\begin{equation}\label{2.3.12}
		\mu^*(F) \geqslant \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu^*(F \cap E_i) + \mu^*(F - E) \geqslant \mu^*(F \cap E) + \mu^*(F - E),
	\end{equation}
这就证明了$E\in\mathbf R^*$, 即$\mathbf R^*$是$\sigma$-环.

再证 \(\mu^*\) 在 \(\mathbf{R}^*\) 上是测度. 
在 \eqref{2.3.12} 中取 \(F = E\), 则
\[\mu^*(E) \geqslant \sum\limits_{i=1}^{n} \mu^*(E_i)\]
 另一方面, 由次可列可加性, \(\mu^*(E) \leqslant \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu^*(E_i)\), 所以 \(\mu^*(E) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu^*(E_i)\).
\end{proof}

\begin{lemma}\label{lemma5}
	如果 \(E \in \mathbf{H}(\mathbf{R})\) 而且 \(\mu^*(E) = 0\), 那么 \(E \in \mathbf{R}^*\).
\end{lemma}

\begin{rmk}
	此引理说明外测度为零的集必是 \(\mu^*\)-可测集
\end{rmk}

\begin{proof}
	对任何 \(F \in \mathbf{H}(\mathbf{R})\), 由外测度的单调性及非负性, 得到 \(0 \leqslant \mu^*(F \cap E) \leqslant \mu^*(E) = 0\), 因此 \(\mu^*(F \cap E) = 0\). 又由次可加性可知
\[\mu^*(F - E) \leqslant \mu^*(F) \leqslant \mu^*(F \cap E) + \mu^*(F - E) = \mu^*(F - E)\]
上述的左右两端相同, 因此中间的不等式就成为等式. 所以 \(\mu^*(F) = \mu^*(F \cap E) + \mu^*(F - E)\), 因此 \(E \in \mathbf{R}^*\).
\end{proof}

\begin{definition}
	设 \(\mu\) 是环 \(\mathbf{R}\) 上的测度, \(E \in \mathbf{R}\). 如果 \(\mu(E) = 0\) 就称 \(E\) 是 \textbf{\(\mu\)-零集}, 简称做零集. 
\end{definition}

显然, \(\mu\)-零集的子集, 如果也属于 \(\mathbf{R}\), 就必然也是零集. 但是对一般环 \(\mathbf{R}\) 上的测度 \(\mu\), \(\mu\)-零集的子集不一定属于 \(\mathbf{R}\). 

\begin{example}\label{eg4}
	设 \(X\) 是一集, \(\mathbf{R} = \{X, \varnothing\}\), 这是一个环(也是 \(\sigma\)-环, \(\sigma\)-代数), \(\mu(X) = \mu(\varnothing) = 0\). 这是平凡的测度. 当 \(X\) 至少有两个元素时, \(X\) 的真子集不属于 \(\mathbf{R}\), 因此有必要引入下面的概念. 
\end{example}

\begin{definition}
	设 \(\mu\) 是环 \(\mathbf{R}\) 上的测度, 如果 \(\mathbf{R}\) 中任何 \(\mu\)-零集的任何子集都必定属于 \(\mathbf{R}\), 那么称 \(\mu\) 是一个\textbf{完全测度}. 
\end{definition}

这样, 由引理 \ref{lemma5} 我们还进一步得到下面的推理. 

\begin{corollary}
	\(\mu^*\) 是 \(\mu^*\)-可测集类 \(\mathbf{R}^*\) 上的完全测度. 
\end{corollary}

{\color{red}\begin{rmk}
	注意外测度有单调性, 即若$A\subseteq E$, 有$\mu^*(A)\leqslant \mu^*(E)$. 那么上述推论是显然的.
\end{rmk}}

\begin{definition}
	设 \(\mu\) 是环 \(\mathbf{R}\) 上的测度, 我们称 \(\sigma\)-环 \(\mathbf{R}^*\) 上的测度 \(\mu^*\) 是 \(\mu\) 的\textbf{延拓}(或\textbf{扩张}). 
\end{definition}

现在我们把这几节中所讨论的内容扼要地小结一下:

我们从集 \(X\) 的某些子集所成的一个环 \(\mathbf{R}\), 以及环 \(\mathbf{R}\) 上的测度 \(\mu\) 出发. 根据环 \(\mathbf{R}\) 作集类 \(\mathbf{H}(\mathbf{R})\), 它是 \(\sigma\)-环. 然后由测度 \(\mu\), 在 \(\mathbf{H}(\mathbf{R})\) 上作出由 \(\mu\) 引出的外测度 \(\mu^*\), \(\mu^*\) 是 \(\mu\) 的``延拓'', 即对于 \(E \in \mathbf{R}\), \(\mu^*(E) = \mu(E)\). 外测度 \(\mu^*\) 具有测度的一部分性质, 但是 \(\mu^*\) 不一定有可加性, 一般说, \(\mu^*\) 只具有次可加性. 但是在 \(\mathbf{H}(\mathbf{R})\) 中利用 Caratheodory 条件分出了一类集, 即 \(\mu^*\)-可测集, \(\mu^*\)-可测集全体 \(\mathbf{R}^*\) 是一个 \(\sigma\)-环, 而且 \(\mathbf{R}\) 中的元都是 \(\mu^*\)-可测集. 如果把外测度 \(\mu^*\) 限制在 \(\mathbf{R}^*\) 上, 那么可列可加性也是成立的, 因此 \(\mu^*\) 是 \(\mathbf{R}^*\) 上的测度. 而且 \(\mu^*\) 是 \(\mathbf{R}^*\) 上的完全测度. 

今后我们凡是遇到环 \(\mathbf{R}\) 上的测度 \(\mu\), 总是立即把它延拓成为 \(\mathbf{R}^*\) 上的测度 \(\mu^*\). 在不致发生混淆的时候, \(\mathbf{R}^*\) 上的测度 \(\mu^*\) 仍用记号 \(\mu\) 来表示. 
\end{document}